已知F1,F2分别为椭圆C1:=1(a>b>0)的上下焦点,其中F1是抛物线C2:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|=
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已知F1,F2分别为椭圆C1:=1(a>b>0)的上下焦点,其中F1是抛物线C2:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|=
题型:不详
难度:
来源:
已知
F
1
,
F
2
分别为椭圆
C
1
:
=1(
a
>
b
>0)的上下焦点,其中
F
1
是抛物线
C
2
:
x
2
=4
y
的焦点,点
M
是
C
1
与
C
2
在第二象限的交点,且|
MF
1
|=
.
(1)试求椭圆
C
1
的方程;
(2)与圆
x
2
+(
y
+1)
2
=1相切的直线
l
:
y
=
k
(
x
+
t
)(
t
≠0)交椭圆于
A
,
B
两点,若椭圆上一点
P
满足
,求实数
λ
的取值范围.
答案
(1)
=1(2)(-2,0)∪(0,2)
解析
(1)由
C
2
:
x
2
=4
y
知
F
1
(0,1),
c
=1,
设
M
(
x
0
,
y
0
)(
x
0
<0),
因
M
在抛物线
C
2
上,
故
=4
y
0
,①
又|
MF
1
|=
,则
y
0
+1=
②
由①②解得
x
0
=-
,
y
0
=
.
而点
M
在椭圆上,
∴2
a
=|
MF
1
|+|
MF
2
|=
=4.
∴
a
=2,∴
b
2
=
a
2
-
c
2
=3.
故椭圆
C
1
的方程为
=1.
(2)因为直线
l
:
y
=
k
(
x
+
t
)与圆
x
2
+(
y
+1)
2
=1相切,
所以
=1⇒
k
=
(
t
≠0,
k
≠0).
把
y
=
k
(
x
+
t
)代入
=1并整理,得
(4+3
k
2
)
x
2
+6
k
2
tx
+3
k
2
t
2
-12=0,
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),则有
x
1
+
x
2
=-
,
y
1
+
y
2
=
kx
1
+
kt
+
kx
2
+
kt
=
k
(
x
1
+
x
2
)+2
kt
=
,因为,
λ
=(
x
1
+
x
2
,
y
1
+
y
2
)
所以,
P
又因为点
P
在椭圆上,
所以,
+
=1⇒
λ
2
=
=
(
t
≠0)
因为
t
2
>0,所以
+1>1,
所以0<
λ
2
<4,
当
k
=0时,因为直线
l
与圆
x
2
+(
y
+1)
2
=1相切,
则
t
=0(舍去)或
t
=-1,
当
t
=-1时,
y
=-1与椭圆有一个交点,不满足题意,
舍去.所以
λ
的取值范围是(-2,0)∪(0,2).
举一反三
已知椭圆
的方程为
,
是它的一条倾斜角为
的弦,且
是弦
的中点,则椭圆
的离心率为_________.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆的焦点在
轴上,一个顶点为
,其右焦点到直线
的距离为
,则椭圆的方程为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
直线
过椭圆
的左焦点
和一个顶点
,则椭圆的方程为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆C的中心在原点,焦点在
轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形F
1
B
1
F
2
B
2
是一个面积为8的正方形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点P的坐标为P(-4,0), 过P点的直线L与椭圆C相交于M、N两点,当线段MN的中点G落在正方形内(包含边界)时,求直线L的斜率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
上一点
关于原点
的对称点为
为其右焦点,若
设
且
则椭圆离心率的取值范围是
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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