已知椭圆,为其右焦点,离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若点,问是否存在直线,使与椭圆交于两点,且.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.

已知椭圆,为其右焦点,离心率为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若点,问是否存在直线,使与椭圆交于两点,且.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆,为其右焦点,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点,问是否存在直线,使与椭圆交于两点,且.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ);(Ⅱ)存在这样的直线,其斜率的取值范围是
解析

试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的参数之间的关系容易求解;(Ⅱ)假设存在这样的直线满足题意,并设.根据,可以得到的关系式.由,得,利用一元二次方程的根与系数的关系,可以转化为的关系,再利用判别式,即可判断是否存在这样的直线,以及存在时的取值范围.
试题解析:
(Ⅰ)由题意知:,∵离心率,∴
故所求椭圆C的标准方程为.                        4分
(Ⅱ)假设存在这样的直线满足题意,并设
因为
所以:

                            5分
,得
根据题意,,得

所以                         8分

解得,或.                        10分
时,),显然符合题意;
时,代入,得,解得
综上所述,存在这样的直线,其斜率的取值范围是.          13分.
举一反三
已知分别是椭圆: 的左、右焦点,点在直线上,线段的垂直平分线经过点.直线与椭圆交于不同的两点,且椭圆上存在点,使,其中是坐标原点,是实数.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)当取何值时,的面积最大?最大面积等于多少?
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已知椭圆C:的离心率等于,点P在椭圆上。
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,是否存在定直线,使得的交点总在直线上?若存在,求出一个满足条件的值;若不存在,说明理由.
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如图,等腰梯形中,. 以为焦点,且过点的双曲线的离心率为;以为焦点,且过点的椭圆的离心率为,则的取值范围为(    )
A.B.C.D.

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已知椭圆的对称中心为坐标原点,上焦点为,离心率.

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设轴上的动点,过点作直线与直线垂直,试探究直线与椭圆的位置关系.
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分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,若△为直角三角形,则△的面积等于__   __.
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