如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设,．（Ⅰ）求直线与的交点的轨迹的方程；（Ⅱ）过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点，若，试求出的值．

题型：不详难度：来源：

如图，在矩形中，分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设,．

（Ⅰ）求直线与的交点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点，若，试求出的值．

答案

（1）
（2）

解析

试题分析：解：（I）设，由已知得，
则直线的方程为，直线的方程为，  4分
消去即得的轨迹的方程为． 6分
（II）方法一：由已知得，又，则， 8分
设直线代入得，
设，
则．…10分
由得，
即，
则，  12分
又到直线的距离为，故．
经检验当直线的斜率不存在时也满足．  14分
方法二：设，则，且可得直线的方程为…10分
代入得，
由得，即，…12分
则，故． 14分
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，运用代数的方法来解决几何问题，属于中档题。