已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直

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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆相交于两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
答案
(I)
(II)当时,,直线过定点与已知矛盾;当时,,直线过定点
解析
(1)根据椭圆的性质得,所以即可写出椭圆的方程.(2)直线与椭圆联立消去.设,由判别式大于0得,利用跟与系数的关系得以AB为直径的圆过椭圆的右顶点就是垂直,即.代入坐标运算可整理得的关系,保证判别式大于0,且直线不过椭圆的左右顶点,得直线过定点
解:(I)由题意设椭圆的标准方程为


(II)设,由
.


以AB为直径的圆过椭圆的右顶点

,解得
,且满足.当时,,直线过定点与已知矛盾;当时,,直线过定点
举一反三
在直角坐标系中,点P到两点的距离之和等于4,设点P的轨迹为,直线与C交于A,B两点.  (Ⅰ)写出C的方程;(Ⅱ)若,求k的值;
(Ⅲ)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有||>||.
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.已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足

(Ⅰ)设为点P的横坐标,证明
(Ⅱ)求点T的轨迹C的方程;
(Ⅲ)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1M的面积S=若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆,顺次连结椭圆的四个顶点,所得四边形的内切圆与长轴的两交点正好是长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率等于(    ).
A.B.C.D.

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∈(0,),方程表示焦点在x轴上的椭圆,则∈(   )
A.(0,B.(, )C.(0,)D.[,)

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椭圆=1的离心率 e =, 则k的值是             
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