已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若恰好将线段AB三等分，则=                          

题型：不详难度：来源：

已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若恰好将线段AB三等分，则=                            

答案

解析

解：由题意，C₂的焦点为（±  ，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易AB为圆的直径且AB=2a
∴C₁的半焦距c=  ，于是得a²-b²=5  ①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：x2="a2b2" b2+4a2 ②，
由对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2 x，
由题得：2 x="2a/" 3 ，所以x="a" /3     ③
由②③得a²=11b² ④
由①④得a²=5.5，b²=0.5