((本小题满分12分)已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆短半轴长为1,动点 在直线上。(1)求椭圆的标准方程(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长
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((本小题满分12分)已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆短半轴长为1,动点 在直线上。(1)求椭圆的标准方程(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长
题型:不详
难度:
来源:
((本小题满分12分)
已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆短半轴长为1,动点
在直线
上。
(1)求椭圆的标准方程
(2)求以
OM
为直径且被直线
截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设
F
是椭圆的右焦点,过点
F
作
OM
的垂线与以
OM
为直径的圆交于点
N
,求证:线段
ON
的长为定值,并求出这个定值。
答案
1)又由点M在准线上,得
故
,
从而
所以椭圆方程为
(2)以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为
,半径
因为以OM为直径的圆被直线
截得的弦长为2
所以圆心到直线
的距离
所以
,解得
所求圆的方程为
(3)方法一:由平几知:
直线OM:
,直线FN:
由
得
所以线段ON的长为定值
。
方法二、设
,则
又
所以,
为定值
解析
略
举一反三
(本小题满分13分)
给定椭圆
>
>0
,称圆心在原点
,半径为
的圆是椭圆
的“准圆”
。若椭圆
的一个焦点为
,其短轴上的一个端点到
的距离为
。
(1)求椭圆
的方程和其“准圆”方程;
(2)点
是椭圆
的“准圆”上的一个动点,过点
作直线
,使得
与椭圆
都只有一个交点。求证:
⊥
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分15分)
如图,椭圆
的中心在原点,焦点在
轴上,
分别是椭圆
的左、右焦点,
是椭圆短轴的一个端点,过
的直线
与椭圆交于
两点,
的面积为
,
的周长为
.
(1)求椭圆
的方程;
(2)设点
的坐标为
,是否存在椭圆上的点
及以
为圆心的一个圆,使得该圆与直线
都相切,如存在,求出
点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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在等腰梯形
中,
,且
。设以
为焦点且过点
的双曲线的离心率为
,以
为焦点且过点
的椭圆的离心率为
,则
=
;
题型:不详
难度:
|
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本小题满分16分)
如图,已知圆
是椭圆
的内接△
的内切圆, 其中
为椭圆的左顶点.
(1)求圆
的半径
;
(
2)过点
作圆
的两条切线交椭圆于
两点,
.
判断直线
与圆
的位置关系并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)
已知椭圆
:
,
分别为左,右焦点,离心率为
,点
在椭圆
上,
,
,过
与坐标轴不垂直的直线
交椭圆于
两点.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)在线段
上是否存在点
,使得以线段
为邻边的四边形是菱形?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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