(本小题满分12分)点M在椭圆上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;(
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(本小题满分12分)点M在椭圆上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.(I)若圆M与y轴相交于A、B两点,且△ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;(
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
点
M
在椭圆
上,以
M
为圆心的圆与
x
轴相切于椭圆的右焦点
F
.
(I)若圆
M
与
y
轴相交于
A
、
B
两点,且△
ABM
是边长为2的正三角形,求椭圆的方程;
(II)已知点
F
(1,0),设过点
F
的直线
l
交椭圆于
C
、
D
两点,若直线
l
绕点
F
任意转动时,恒有
成立,求实数
的取值范围.
答案
(I)椭圆方程为
(II)
a
的取值范围是
解析
解:(I)
ABM是边长为2的正三角形,∴圆的半径r=2,
∴M到y轴的距离
…………(2分)
又圆M与x轴相切,∴当
∴
…………(4分)
∴
∴
解得a=3或a=-1(舍去),则
故所求椭圆方程为
…………(6分)
(II)(方法1)①当直线l垂直于x轴时,把x=1代入,得
解得
(舍去),即
…………(8分)
②当l不垂直x轴时,设
,
直线AB的方程为
得
则
得
恒成立.
…………(10分)
,
由题意得,
恒成立.
当
不是恒成立的.
当
,恒成立.
当
恒成立,
,
解得
综上,
a
的取值范围是
…………(12分)
(方法2)设
①当直线CD与x轴重合时,有
恒有
…………(8分)
②当直线C不与x轴重合时,设直线CD的方程为
整理得
恒为钝角,
则
恒成立 …………(10分)
又
恒成立,
即
恒成立.当
时,
解得
综上,
a
的取值范围是
…………(
12分)
举一反三
若椭圆
的焦距等于2,则
m
的值为( )
A.10
B.7
C.10或4
D.7或5
题型:不详
难度:
|
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(14分)已知离心率为
的椭圆
经过点
P
(1,
),
是椭圆
C
的右顶点.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)若直线
与椭圆
C
相交于
A
、
B
两点,求证:
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
已知椭圆
的左、右焦点分别为
,点
是
轴上方椭圆
上的一点,且
,
,
.
(Ⅰ) 求椭圆
的方程和
点的坐标;
(Ⅱ)判断以
为直径的圆与以椭圆
的长轴为直径的圆的位置关系;
(Ⅲ)若点
是椭圆
:
上的任意一点,
是椭圆
的一个焦点,探究以
为直径的圆与以椭圆
的长轴为直径的圆的位置关系.
题型:不详
难度:
|
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直线
被椭圆
所截得的弦的中点坐标是 ( )
A.(
,
)
B.(
,
)
C.(
,
)
D. (
,
)
题型:不详
难度:
|
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设点
是椭圆
上一动点,
是椭圆的两个焦点,
的内切圆半径为
,则当点点
在
轴上方时,点
的纵坐标为( )
A.2
B.4
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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