(本小题满分14分) 解: (1)定圆圆心为,半径为. --------------------------------------------1分 设动圆圆心为,半径为,由题意知,,, ----------------------------------------------------------------2分 因为, 所以点的轨迹是以、为焦点,长轴长为的椭圆, -------------3分 故曲线的方程为. --------------------------------------------------------4分 (2)设,则
, -----------------------------------------------------5分 令,,所以, 当,即时,在上是减函数, ; ----------------------------------------------6分 当,即时,在上是增函数,在上是减函数,则; -----------------------7分 当,即时,在上是增函数, . -----------------------------------------------------------8分 所以, . --------------------------9分 (3)当时,,于是,. 若正数满足条件,则, -------------------------10分 即,所以 . -----------------------------11分 令,设,则,,于是
所以,当,即,时,, ----------------------------------------------13分 所以, ,即.所以,存在最小值. ------------------------14分 另解:当时,,于是,. 若正数满足条件,则, -------------------------10分 即,所以 . ---------------------------11分 令,则, 由,得. 当时,;当时,. 故当时,, ---------------------------------------------13分 所以, ,即.所以,存在最小值. -----------------------14分 |