（本题12分）已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点所组成的四边形是面积为2的正方形，（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的

题型：不详难度：来源：

（本题12分）已知中心为坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点所组成的四边形是面积为2的正方形，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，2）的直线l与椭圆交于点A，B，当△OAB面积最大时，求直线l的方程。

答案

（1）
（2）或

解析

设椭圆方程为，
（1）由已知得
∴所求椭圆的标准方程为
（2）根据题意可知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为

由方程组消去y得关于x得：方程（1＋2k²）x²＋8kx＋6＝0，
由直线l与椭圆相交于A，B两点，则有
△ 
由韦达定理得：
故

又因为原点O到直线l的距离，
故
令
当且仅当m＝2时，，此时
∴直线l的方程为，或.