(本题12分)已知中心为坐标原点O,焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点所组成的四边形是面积为2的正方形,(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,2)的

(本题12分)已知中心为坐标原点O,焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点所组成的四边形是面积为2的正方形,(1)求椭圆的标准方程;(2)过点P(0,2)的

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(本题12分)已知中心为坐标原点O,焦点在x轴上的椭圆的两个短轴端点和左右焦点所组成的四边形是面积为2的正方形,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆交于点A,B,当△OAB面积最大时,求直线l的方程。
答案
(1)
(2)
解析
设椭圆方程为
(1)由已知得
∴所求椭圆的标准方程为
(2)根据题意可知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为

由方程组消去y得关于x得:方程(1+2k2)x2+8kx+6=0,
由直线l与椭圆相交于A,B两点,则有
△ 
由韦达定理得:


又因为原点O到直线l的距离,


当且仅当m=2时,,此时
∴直线l的方程为,或.
举一反三
已知椭圆的左右顶点分别为M,N,P为椭圆上任意一点,且直线PM的斜率取值范围是,则直线PN的斜率的取值范围是
A.B.C.D.

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已知椭圆的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在抛物线上,在点处的切线与交于点.线段的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值.
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已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆C的离心率为,且经过点,过点P(2,1)的直线与椭圆C在第一象限相切于点M .
(1)求椭圆C的方程;
(2)求直线的方程以及点M的坐标;
(3)是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B,满足?若存在,求出直线l1的方程;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆的两个焦点为在椭圆上,且
.
(1)求椭圆方程;
(2)若直线过圆的圆心,交椭圆两点,且关于点对称,求直线的方程.
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设椭圆M(ab>0)的离心率为,长轴长为,设过右焦点F
斜角为的直线交椭圆MAB两点。
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(2)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆MCD,求|AB| + |CD|的最小
值。
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