如图所示,点P是椭圆=1上的一点,F1和F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.

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题型:不详难度:来源:
如图所示,点P是椭圆=1上的一点,F1和F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.
答案
8-4
解析
在椭圆=1中,
a=,b=2.∴c= =1.
又∵点P在椭圆上,
∴|PF1|+|PF2|=2a=2.                      ①
由余弦定理知:
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30°  
=|F1F2|2=(2c)2="4.                                  " ②
①式两边平方得
|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20,                ③
③-②得(2+)|PF1|·|PF2|=16,
∴|PF1|·|PF2|=16(2-), ∴=|PF1|·|PF2|sin30°=8-4.
举一反三
已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数).
(1)求椭圆的方程;
(2)设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线l与y轴交于点M,若||=2||,求直线l的斜率.
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已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点,点M在椭圆上, = +,求椭圆的方程.
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一动圆与已知圆O1:(x+3)2+y2=1外切,与圆O2:(x-3)2+y2=81内切,试求动圆圆心的轨迹方程.
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(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的方程;
(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1,1)、P2(-,-),求椭圆的方程.
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如图所示,已知A、B、C是椭圆E:=1(a>b>0)上的三点,其中点  
A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心O,且AC⊥BC,|BC|=2|AC|.
(1)求点C的坐标及椭圆E的方程;
(2)若椭圆E上存在两点P、Q,使得∠PCQ的平分线总是垂直于x轴,试判断向量是否共线,并给出证明.
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