设点A(－2，)，椭圆+ =1的右焦点为F，点P在椭圆上移动.当|PA|+2|PF|取最小值时,P点的坐标是多少？

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设点A(－2，

)，椭圆

=1的右焦点为F，点P在椭圆上移动.当|PA|+2|PF|取最小值时,P点的坐标是多少？

答案

)

解析

设椭圆的右准线为l,过A作AN⊥l于N，AN交椭圆于P，则P点就是所求的点，坐标为(2

，

).
事实上，易知椭圆离心率为

.
|PA|+2|PF|=|PA|+2×

|PN|=|PA|+|PN|，
(|PN|是P到相应准线的距离.显然|P′A|+|P′N′|>|AP|+|PN|).

举一反三

设椭圆

=1(a＞b＞0)的左焦点为F₁(－2,0),左准线l₁与x轴交于点N(－3,0),过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点.
(1)求直线l和椭圆的方程；
(2)求证:点F₁(－2,0)在以线段AB为直径的圆上.

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设F₁、F₂是双曲线x²－y²=4的左、右两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F₁作∠F₁PF₂的平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程.

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已知点F(1，0)，直线l:x=2.设动点P到直线l的距离为d,且|PF|=

≤d≤

.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若

，求向量

与

的夹角.

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(1)求右焦点坐标是(2,0),且经过点(－2,－

)的椭圆C的标准方程；
(2)对(1)中的椭圆C,设斜率为1的直线l交椭圆C于A、B两点,AB的中点为M,证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上；
(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.

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已知椭圆的两焦点为F₁(0，－1)、F₂(0，1)，直线y=4是椭圆的一条准线.
(1)求椭圆方程；
(2)设点P在椭圆上，且|PF₁|－|PF₂|=1，求tan∠F₁PF₂的值.

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