(1)由椭圆定义及条件知,2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3. 故椭圆方程为=1. (2)由点B(4,yB)在椭圆上,得|F2B|=|yB|=. 因为椭圆右准线方程为x=,离心率为,根据椭圆定义,有|F2A|=(-x1),|F2C|=(-x2), 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 (-x1)+(-x2)=2×,由此得出: x1+x2=8. 设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4. (3)解法一: 由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上. 得 ①-②得9(x12-x22)+25(y12-y22)=0, 即9×=0(x1≠x2) 将 (k≠0) 代入上式,得9×4+25y0(-)="0 " (k≠0) 即k=y0(当k=0时也成立). 由点P(4,y0)在弦AC的垂直平分线上,得y0=4k+m, 所以m=y0-4k=y0-y0=-y0. 由点P(4,y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部, 得-<y0<,所以-<m<. 解法二: 因为弦AC的中点为P(4,y0),所以直线AC的方程为 y-y0=-(x-4)(k≠0) ③ 将③代入椭圆方程=1,得 (9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2=0 所以x1+x2==8,解得k=y0. (当k=0时也成立) (以下同解法一). |