已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2,若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是,求椭圆的方程
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已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2,若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是,求椭圆的方程
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2
,若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是
,求椭圆的方程
答案
解法一:
令椭圆方程为
,
由题得:
,
由
可得
,
又
即
椭圆方程为
解法二:
令椭圆方程为
,
由题得:
,
由
作差得
又
即
椭圆方程为
解析
椭圆中心定,焦点定,所以椭圆的位置定,而且由准线方程可得一个方程,还有一个方程怎么找?根据直线与椭圆相交,可联立方程组,利用韦达定理解决,事实上就是把交点问题化归为方程根的问题,有关中点问题还可设弦的两端点坐标代入椭圆方程相减,式中含有
三个未知量,但直接联系了中点和直线的斜率,同样可得到a与b的关系(点差法)从而解决问题,但两者又各有弊端:韦达定理解决过程中易漏解,需关注直线的斜率问题;点差法则在确定范围方面略显不足。
举一反三
(本题满分12分)
求两对称轴与坐标轴重合,离心率e=0.8,焦点到相应准线的距离等于
的椭圆方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的左右焦点分别为F
1
,F
2
,若过点P(0,-2)及F
1
的直线交椭圆于A,B两点,求⊿ABF
2
的面积
题型:不详
难度:
|
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若直线
与椭圆
恒有公共点,求实数
的取值范围
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过
、
、
三点.
(1)求椭圆
的方程:
(2)若点
D
为椭圆
上不同于
、
的任意一点,
,当
内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标;
(3)若直线
与椭圆
交于
、
两点,证明直线
与直线
的交点在直线
上.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的焦点是
F
1
、
F
2
,
P
是椭圆上的一个动点,如果延长
F
1
P
到
Q
,使得|
PQ
|=|
PF
2
|,那么动点
Q
的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D.抛物线
题型:不详
难度:
|
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