已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的上顶点为A（0，1），过C1的焦点且垂直长轴的弦长轴的弦长为1．（1）求椭圆C1的方程；（2）设圆O：x2+

题型：广东模拟难度：来源：

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上顶点为A（0，1），过C₁的焦点且垂直长轴的弦长轴的弦长为1．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设圆O：x2+y2=

4

5

，过该圆上任意一点作圆的切线l，试证明l和椭圆C₁恒有两个交点A，B，且有

OA

•

OB

=0；
（3）在（2）的条件下求弦AB长度的取值范围．

答案

依题意有

b=1 2b2 a =1

⇒

a=2 b=1

．
（1）C1：

x2

4

+y2=1．

（2）由

x2

4

+y2=1，且半径r=

2 5

5

＜1，所以圆O必在椭圆内部，
所以过该圆上任意一点作切线必与椭圆恒有两个交点．
设切点坐标为（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则切线方程为x0x+y0y=

4

5

（1），
又由（1）知C1：

x2

4

+y2=1（2）
联立（1）（2）得：(

y

20

+4

x

20

)

x

2

-

32

5

x0x-4

y

20

+

64

25

=0，x1x2=

64 25 -4 y 20

y 20 +4 x 20

，x1+x2=

32 5 x 20

y 20 +4 x 20

，
又y1=

4 5 -x0 x  1

y0

，y2=

4 5 -x0 x  2

y0

，y1y2=

16 25 -4 x 20

y 20 +4 x 20

，
所以，欲证

OA

•

OB

=0，即证：x₁x₂+y₁y₂=0，
因为：x1x2+y1y2=

64 25 -4 y 20

y 20 +4 x 20

+

16 25 -4 x 20

y 20 +4 x 20

=

80 25 -4( x 20 + y 20 )

y 20 +4 x 20

=

80 25 -4× 4 5

y 20 +4 x 20

=0
所以，

OA

•

OB

=0命题成立．

（3）设∠A=θ，则∠B=90°-θ，OD=r=

2 5

5

，BD=

OD

tan(900-θ)

，AD=

OD

tanθ

，
则AB=

OD

tan(900-θ)

+

OD

tanθ

=OD•(tanθ+

1

tanθ

)=

2 5

5

，
所以OA∈[1，2]，OD=

2 5

5

，所以sinθ=

OD

OA

∈[

5

5

，

2 5

5

]，又θ为锐角，
所以tanθ∈[

1

2

，2]，则有tanθ+

1

tanθ

∈[2，

5

2

]，所以AB∈[

4 5

5

，

5

]．