已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1(-32,0)、F2(32,0),点P是第一象限内双曲线上的点,且tan∠PF1F2=12,t
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已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1(-32,0)、F2(32,0),点P是第一象限内双曲线上的点,且tan∠PF1F2=12,t
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)的两个焦点为
F
1
(-
3
2
,0)
、
F
2
(
3
2
,0)
,点P是第一象限内双曲线上的点,且
tan∠P
F
1
F
2
=
1
2
,tan∠PF
2
F
1
=-2,则双曲线的离心率为______.
答案
∵△PF
1
F
2
中,sin∠PF
1
F
2
═
5
5
,sin∠PF
1
F
2
═
2
5
5
,
∴由正弦定理得
P
F
1
P
F
2
=
sin∠P
F
2
F
1
sin∠P
F
1
F
2
=2
,…①
又∵
tan∠P
F
1
F
2
=
1
2
,tan∠PF
2
F
1
=-2,
∴tan∠F
1
PF
2
=-tan(∠PF
2
F
1
+∠PF
1
F
2
)=-
1
2
-2
1+
1
2
×2
=
3
4
,可得cos∠F
1
PF
2
=
4
5
,
△PF
1
F
2
中用余弦定理,得
PF
1
2
+
PF
2
2
-2PF
1
•PF
2
cos∠F
1
PF
2
=
F
1
F
2
2
=3,…②
①②联解,得
P
F
1
=
2
15
3
,P
F
2
=
15
3
,可得
P
F
1
-P
F
2
=
15
3
,
∴双曲线的
2a=
15
3
,结合
2c=
3
,得离心率
e=
2c
2a
=
3
5
5
故答案为:
3
5
5
举一反三
双曲线的中心在坐标原点,离心率等于2,一个焦点的坐标为(0,2),则此双曲线的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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设双曲线
C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
,点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点,点F
1
、F
2
分别为双曲线C的左、右焦点,点M、N是双曲线C的右支上不同两点,点Q为线段MN的中点.已知在双曲线C上存在一点P,使得
PA
+
PB
+
P
F
2
=(
3
-3)
OP
.
(Ⅰ)求双曲线C的离心率;
(Ⅱ)设a为正常数,若点Q在直线y=2x上,求直线MN在y轴上的截距的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,△OAF的面积为
a
2
2
(O为原点),则两条渐近线的夹角为______.
题型:不详
难度:
|
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若双曲线
x
2
8
-
y
2
b
2
=1
的一条准线与抛物线y
2
=8x的准线重合,则双曲线的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
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已知两个点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”,给出下列直线:①y=x+1;②
y=
4
3
x
;③y=2;④y=2x+1.其中为“B型直线”的是______.(填上所有正确结论的序号)
题型:不详
难度:
|
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