(Ⅰ)由题设,点A(-a,0),B(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.(1分) 因为++=(-3),则++=. 设点P(x0,y0)-=1 ,则(-a+c,b)=(x0,y0),所以x0=(c-a),y0=.(3分) 因为点P在双曲线-=1上,所以,即(c-a)2=4a2.(4分) 因为c>a,所以c-a=2a,即c=3a,故离心率e==3.(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知c=3a,则b2=c2-a2=8a2.(7分) 若MN⊥x轴,则Q在x轴上,不合题意. 设直线MN的方程为y=kx+m,代入-=1,得8x2-(kx+m)2=8a2,即(8-k2)x2-2kmx-m2-8a2=0.(*)(9分) 若k2=8,则MN与双曲线C的渐近线平行,不合题意. 设点M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),则x1+x2=,x0==,y0=kx0+m=.(10分) 若点Q在直线y=2x上,则=. 因为点M、N在双曲线的右支上,所以m≠0,从而k=4.(11分) 此时,方程(*)可化为8x2+8mx+m2+8a2=0. 由△=82m2-4×8(m2+8a2)>0,得m2>8a2.(12分) 又M、N在双曲线C的右支上,则x1+x2=-m>0,所以m<-2a. 故直线MN在y轴上的截距的取值范围是(-∞,-2a).(13分) |