在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3),(0,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A,B两点.(1)写出C的方程;(2)若OA⊥
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在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3),(0,3)的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A,B两点.(1)写出C的方程;(2)若OA⊥
题型:辽宁
难度:
来源:
在直角坐标系xOy中,点P到两点
(0,-
3
),(0,
3
)
的距离之和为4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A,B两点.
(1)写出C的方程;
(2)若
OA
⊥
OB
,求k的值;
(3)若点A在第一象限,证明:当k>0时,恒有
|
OA
|>|
OB
|
.
答案
(Ⅰ)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以
(0,-
3
),(0,
3
)
为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴
b=
2
2
-
(
3
)
2
=1
,
故曲线C的方程为
x
2
+
y
2
4
=1
.(3分)
(Ⅱ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),其坐标满足
x
2
+
y
2
4
=1
y=kx+1.
消去y并整理得(k
2
+4)x
2
+2kx-3=0,
故
x
1
+
x
2
=-
2k
k
2
+4
,
x
1
x
2
=-
3
k
2
+4
.(5分)
若
OA
⊥
OB
,即x
1
x
2
+y
1
y
2
=0.
而y
1
y
2
=k
2
x
1
x
2
+k(x
1
+x
2
)+1,
于是
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=-
3
k
2
+4
-
3
k
2
k
2
+4
-
2
k
2
k
2
+4
+1=0
,
化简得-4k
2
+1=0,所以
k=±
1
2
.(8分)
(Ⅲ)因为A(x
1
,y
1
)在椭圆上,所以满足y
2
=4(1-x
2
),y
1
2
=4(1-x
1
2
),
|OA|
2
-
|OB|
2
=
x
21
+
y
21
-(
x
22
+
y
22
)
=(x
1
2
-x
2
2
)+4(1-x
1
2
-1+x
2
2
)=-3(x
1
-x
2
)(x
1
+x
2
)=
6k(
x
1
-
x
2
)
k
2
+4
.
因为A在第一象限,故x
1
>0.由
x
1
x
2
=-
3
k
2
+4
知x
2
<0,从而x
1
-x
2
>0.又k>0,
故
|OA|
2
-
|OB|
2
>0
,
即在题设条件下,恒有
|OA|
>
|OB|
.(12分)
举一反三
下面是关于圆锥曲线的四个命题:
①抛物线y
2
=2px的准线方程为
y=-
p
2
;
②设A、B为两个定点,a为正常数,若
|PA|
+
|PB|
=2a
,则动点P的轨迹为椭圆;
③方程2x
2
-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④平面内与定点A(5,0)的距离和定直线
l:x=
16
5
的距离之比为
5
4
的点的轨迹方程为
x
2
16
-
y
2
9
=1
.其中所有真命题的序号为______.
题型:不详
难度:
|
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已知B(-1,0),C(1,0),|AB|+|AC|=10,则点A的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆E的两个焦点分别为F
1
(-1,0),F
2
(1,0),点(1,
3
2
)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程
(2)若椭圆E上存在一点 P,使∠F
1
PF
2
=30°,求△PF
1
F
2
的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
,F
2
是椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1的两个焦点,P为椭圆上一点,则△PF
1
F
2
的周长______.
题型:不详
难度:
|
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满足等式|z-4i|+|z+4i|=10的复数z在复平面内所对应的点Z的集合的图形是一个离心率e=______的椭圆.
题型:不详
难度:
|
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