已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率的取值
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率的取值
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,P是椭圆上的一点,且|PF
1
|,|F
1
F
2
|,|PF
2
|成等比数列,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A.[
1
2
,
2
2
]
B.[
5
-1,
1
2
]
C.[
2
-1,
1
2
]
D.[
5
5
,
1
2
]
答案
设点P的坐标为(m,n),
∵P是椭圆上的一点,F
1
,F
2
分别为椭圆的左右焦点,
∴由椭圆的第二定义,得|PF
1
|=a+em,|PF
2
|=a-em,
∵|PF
1
|,|F
1
F
2
|,|PF
2
|成等比数列,
∴|F
1
F
2
|
2
=|PF
1
|•|PF
2
|,即4c
2
=(a+em)(a-em)
可得4c
2
=a
2
-e
2
m
2
,即e
2
m
2
=a
2
-4c
2
,
∵0≤m
2
≤a
2
,可得0≤e
2
m
2
≤e
2
a
2
,∴0≤a
2
-4c
2
≤e
2
a
2
,
各项都除以a
2
得0≤1-4e
2
≤e
2
,解之得
1
5
≤e
2
≤
1
4
,
∴
5
5
≤e≤
1
2
,即椭圆的离心率的取值范围为[
5
5
,
1
2
].
故选:D
举一反三
椭圆
y
2
16
+
x
2
4
=1
上一点M到焦点F
1
的距离为2,N是MF
1
的中点,O为坐标原点,则|ON|等于( )
A.2
B.3
C.4
D.6
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知F
1
、F
2
是椭圆
x
2
16
+
y
2
25
=1
的两个焦点,过F
1
的直线与椭圆交于M、N两点,则△MNF
2
的周长为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x
0
,0).证明
-
a
2
-
b
2
a
<
x
0
<
a
2
-
b
2
a
.
题型:不详
难度:
|
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简化的北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC,BD,设内层椭圆方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,则外层椭圆方程可设为
x
2
(ma)
2
+
y
2
(mb)
2
=1(a>b>0,m>1)
.若AC与BD的斜率之积为
-
9
16
,则椭圆的离心率为( )
A.
7
4
B.
2
2
C.
6
4
D.
3
4
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左顶点为A,左焦点为F,上顶点为B,若∠BAO+∠BFO=90°,则该椭圆的离心率是______.
题型:不详
难度:
|
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