设椭圆x2a2+y2b2=1的两焦点为F1、F2,长轴两端点为A1、A2.(1)P是椭圆上一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积;(2)若椭圆上存在
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设椭圆x2a2+y2b2=1的两焦点为F1、F2,长轴两端点为A1、A2.(1)P是椭圆上一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积;(2)若椭圆上存在
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1的两焦点为F
1
、F
2
,长轴两端点为A
1
、A
2
.
(1)P是椭圆上一点,且∠F
1
PF
2
=60°,求△F
1
PF
2
的面积;
(2)若椭圆上存在一点Q,使∠A
1
QA
2
=120°,求椭圆离心率e的取值范围.
答案
(1)∵|F
1
F
2
|=2c.
设|PF
1
|=t
1
,|PF
2
|=t
2
,
则根据椭圆的定义可得:t
1
+t
2
=2a①,
在△F
1
PF
2
中∠F
1
PF
2
=60°,
所以根据余弦定理可得:t
1
2
+t
2
2
-2t
1
t
2
•cos60°=4c
2
②,
由①
2
-②得t
1
•t
2
=
1
3
(4a
2
-4c
2
),
所以:
S
△
F
1
P
F
2
=
1
2
t
1
t
2
•sin60°=
1
2
×
4
3
(a
2
-c
2
)×
3
2
=
3
3
(a
2
-c
2
)
.
所以△F
1
PF
2
的面积
3
3
(a
2
-c
2
)
.
(2)由对称性不防设Q在x轴上方,坐标为(x
0
,y
0
),
则tanA
1
QA
2
=
k
QA1
-
k
QA2
1+
k
QA1
K
QA2
=-
3
,即
y
0
x
0
-a
-
y
0
x
0
+a
1+
y
0
x
0
-a
•
y
0
x
0
+a
=-
3
整理得
2a
y
0
x
20
-
a
2
+
y
2
0
=-
3
,①
∵Q在椭圆上,
∴
x
20
=
a
2
(1-
y
20
b
2
)
,代入①得y
0
=
2a
b
2
3
c
2
,
∵0<y
0
≤b
∴0<
2a
b
2
3
c
2
≤b,化简整理得3e
4
+4e
2
-4≥0,
解得
6
3
≤e<1.
举一反三
中心在原点,准线方程为y=±5,离心率为
5
5
的椭圆方程为( )
A.
x
2
4
+
y
2
5
=1
B.
x
2
5
+
y
2
4
=1
C.
x
2
4
+
y
2
3
=1
D.
x
2
3
+
y
2
4
=1
题型:不详
难度:
|
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设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,焦点在x轴上,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为
4(
2
-1)
,
(1)求此椭圆方程,并求出准线方程;
(2)若P在左准线l上运动,求tan∠F
1
PF
2
的最大值.
题型:不详
难度:
|
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若点A的坐标为(3,1),点P在抛物线y
2
=4x上移动,F为抛物线的焦点,则|PF|+|PA|的最小值为( )
A.3
B.4
C.5
D.
5
+2
题型:不详
难度:
|
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椭圆
E:
x
2
a
2
+
y
2
=1
的焦点在x轴上,且长轴长为短轴长的2倍,则它的离心率为( )
A.
1
2
B.
2
3
C.
3
2
D.
3
3
题型:不详
难度:
|
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椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
的准线方程是( )
A.
x=±
25
3
B.
y=±
25
3
C.
x=±
25
4
D.
y=±
25
4
题型:不详
难度:
|
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