AB是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则KAB•KOM的值为（　　）A．e

题型：不详难度：来源：

AB是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K_AB•K_OM的值为（　　）

A．e-1

B．1-e

C．e2-1

D．1-e2

答案

设直线为：y=kx+c
联立椭圆和直线

y=kx+c x2 a2 + y2 b2 =1

消去y得
b²x²+a²（kx+c）²-a²b²=0，即 （b²+k²a²）x²+2a²kcx+a²（c²-b²）=0
所以：x₁+x₂=-

2a2kc

b2+k2a2

所以，M点的横坐标为：M_x=

1

2

（x₁+x₂）=-

a2kc

b2+k2a2

又：y₁=kx₁+c
y₂=kx₂+c
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2c=

2b2c

b2+k2a2

所以，点M的纵坐标M_y=

1

2

（y₁+y₂）=

b2c

b2+k2a2

所以：Kom=

My

Mx

=

b2c b2+k2a2

a2kc b2+k2a2

=-

b．2

a2k

所以：
k_AB•k_OM=k×（-

b．2

a2k

）=-

b．2

a2

=e²-1