已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,AB∥OM.(1)求

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,AB∥OM.(1)求

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B,从椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1


AB


OM

(1)求椭圆的离心率e;
(2)设Q是椭圆上任意一点,F1、F2分别是左、右焦点,求∠F1QF2的取值范围.
答案
依题意,作图如图:
(1)设F1(-c,0),则xM=-c,yM=
b2
a

∴kOM=-
b2
ac

∵kAB=-
b
a


OM


AB

∴-
b2
ac
=-
b
a

∴b=c,故e=
c
a
=


2
2

(1)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2=θ,
∴r1+r2=2a,|F1F2|=2c.
cosθ=
r12+
r22
-4c2
2r1r2
=
(r1+r2)2-2r1r2-4c2
2r1r2

=
2b2
r1r2
-1≥
2b2
(
r1+r2
2
)2
-1=0,
当且仅当r1=r2时,cosθ=0,
∴θ∈[0,
π
2
].
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


2
2
,左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为4


2
.则椭圆C的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
点P在椭圆
x2
4
+
y2
3
=1上运动,Q、R分别在两圆(x+1)2+y2=1和(x-1)2+y2=1上运动,则|PQ|+|PR|的最小值为______.
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点P是椭圆
x2
9
+
y2
4
=1上的一点,F1,F2是焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是(  )
A.
4


3
3
B.4


3
C.
4
3
D.


3
2
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设P为椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
上的一点,F1、F2是椭圆的焦点,若|PF1|:|PF2|=3:1,则∠F1PF2的大小为(  )
A.30°B.60°C.90°D.120°
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已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(0,-1),(0,1),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0).
(1)求顶点C的轨迹E的方程,并判断轨迹E为何种圆锥曲线;
(2)当m=-
1
2
时,过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M,Q不重合)试问:直线MQ与x轴的交点是否为定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
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