椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0），M是椭圆上一点，且F1M•F2M=0，则离心率e的取值范围是 ______

题型：不详难度：来源：

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点是F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是椭圆上一点，且

F1M

•

F2M

=0，则离心率e的取值范围是 ______．

答案

设点M的坐标为（x，y），则

F1M

=（x+c，y），

F2M

=（x-c，y）．
由

F1M

•

F2M

=0，得
x²-c²+y²=0．①
又由点M在椭圆上，得
y²=b-

b2x2

a2

，代入①，解得
x²=a²-

a2b2

c2

．
∵0≤x²≤a²，
∴0≤a²-

a2b2

c2

≤a²，
即0≤

2c2-a2

c2

≤1，
0≤2-

1

e2

≤1．
∵e＞0，
解得

2

2

≤e≤1．
又∵e＜1，
∴

2

2

≤e＜1．
故答案为：[

2

2

，1）