椭圆x2a2+y2b2=1以F1（-2，0）和F2（2，0）为焦点，离心率e=22．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，∠AOB=9

题型：不详难度：来源：

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1以F₁（-2，0）和F₂（2，0）为焦点，离心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，∠AOB=90°，求弦AB的长；并求△AOB的面积．（其中O为坐标原点）

答案

（Ⅰ）由题设条件知

c=2 c a = 2 2

，
∴a²=8，b²=4，
∴椭圆的方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）设直线方程为y=x+b，联立方程组

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，
整理，得3x²+4bx+2b²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

4b

3

，x1x2=

2b2-8

3

，
∵∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²，
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
∴

4b2-16

3

-

4b2

3

+b2=0，解得b=±

4 3

3

．
∴直线方程为y=x±

4 3

3

．
x1+x2=±

16 3

9

，x1x2=

8

9

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2( 768 81 - 288 81 )

=

8 15

9

．
∵O到直线y=x±

4 3

3

的距离为d=

|0-0± 4 3 3 |

2

=

2 6

3

，
∴△AOB的面积=

1

2

×

8 15

9

×

2 6

3

=

8 10

9

．