设椭圆x2b2+y2a2=1(a>b>0)的焦点为F1、F2,P是椭圆上任一点,若∠F1PF2的最大值为2π3.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设直线l与椭圆交于
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设椭圆x2b2+y2a2=1(a>b>0)的焦点为F1、F2,P是椭圆上任一点,若∠F1PF2的最大值为2π3.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设直线l与椭圆交于
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆
x
2
b
2
+
y
2
a
2
=1(a>b>0)的焦点为F
1
、F
2
,P是椭圆上任一点,若∠F
1
PF
2
的最大值为
2π
3
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线l与椭圆交于M、N两点,且l与以原点为圆心,短轴长为直径的圆相切.已知|MN|的最大值为4,求椭圆的方程和直线l的方程.
答案
∵椭圆方程为
x
2
b
2
+
y
2
a
2
=1(a>b>0)
(1)|PF
1
|+|PF
2
|=2a
cosF
1
PF
2
=
|P
F
1
|
2
+|P
F
2
|
2
-|
F
1
F
2
|
2
2|P
F
1
|•|P
F
2
|
=
4
a
2
-4
c
2
2|P
F
1
|•|P
F
2
|
-1>1-2
e
2
=-
1
2
∴e=
3
2
(2)∵e=
3
2
,∴a
2
=4b
2
.
∴椭圆方程为y
2
+4x
2
=4b
2
该直线l:y=kx+m.
∵直线l与圆x
2
+y
2
=b
2
相切,∴m
2
=b
2
(1+k
2
)①
从
y
2
+4
x
2
=4
b
2
y=kx+m
得(4+k
2
)x
2
+2kmx+m
2
-4b
2
=0
∵|MN|=4
3
b•
1
1+
k
2
+
3
1+
k
2
≤2b
当且仅当k=±
2
时取等号.
∴l:y=±
2
x+2
3
此时椭圆方程为:
x
2
4
+
y
2
16
=1.
举一反三
设F
1
,F
2
分别是椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1的左,右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF
1
|的最大值为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆
x
2
12
+
y
2
b
2
=1(0<b<2
3
)
与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F
1
,F
2
,P为它们的一个公共点,且∠F
1
PF
2
=90°,则椭圆的离心率为( )
A.
6
6
B.
21
6
C.
30
6
D.
15
6
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知P是椭圆
x
2
12
+
y
2
4
=1
上的动点,F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点,则
P
F
1
•
P
F
2
的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x=2cosθ
y=sinθ
(θ为参数)
(1)求该椭圆的焦点坐标和离心率;
(2)已知点P是椭圆上任意一点,求点P与点M(0,2)的距离|PM|的最大值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知两个正数a,b(a>b)的等差中项为5,等比中项为4,则椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
的离心率e等于( )
A.
15
8
B.
17
8
C.
15
4
D.
17
4
题型:不详
难度:
|
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