已知椭圆：x25+y2=1中，F1、F2分科技别为左、右焦点，过F2作椭圆的弦AB．（1）求证：1|F2A|+1|F2B|为定值；（2）求△F1AB面积的最大值

题型：不详难度：来源：

已知椭圆：

x2

5

+y2=1中，F₁、F₂分科技别为左、右焦点，过F₂作椭圆的弦AB．
（1）求证：

1

|F2A|

+

1

|F2B|

为定值；
（2）求△F₁AB面积的最大值．

答案

（1）证明：∵a²=5，b²=1
∴F₁（-2，0），F₂（2，0）
若AB斜率存在，设直线AB：y=k（x-2）
由

y=k(x-2) x2 5 +y2=1

⇒(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：x1+x2=

20k2

5k2+1

．x1•x2=

5(4k2-1)

5k2+1

∵|F2A|=a-ex=

5

-

2

5

x1，|F2B|=

5

-

2

5

x2
∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=

2 5 - 2 5 (x1+x2)

5-2(x1+x2)+ 4 5 x1x2

=2

5

为定值．
当AB⊥x轴时，

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=2

5

也成立．
∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=定值．
（2）设AB倾斜角为θ
|AB|=|F2A|+|F2B|=2

5

-

2

5

(x1+x2)=

2 5 (1+k2)

5k2+1

=

2 5

cos2θ+5sin2θ

设F₁到AB距离为d．则d=2•csinθ=4sinθ．
∴S△F1AB=

4 5 sinθ

cos2θ+5sin2θ

=

4 5 sinθ

1+4sin2θ

．
∴0＜θ＜π
∴sinθ＞0
∴S△F1AB=

4 5

1 sinθ +4sinθ

≤

5

．
当且仅当sinθ=

1

2

，即θ=30°或150°，△F₁AB面积的最大值为

5

．