已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)当椭圆的离心率e=12,一条准线方程为x=4 时,求椭圆方程;(2)设P(x,y)是椭圆上一点,在(1)的条件

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)当椭圆的离心率e=12,一条准线方程为x=4 时,求椭圆方程;(2)设P(x,y)是椭圆上一点,在(1)的条件

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)
(1)当椭圆的离心率e=
1
2
,一条准线方程为x=4 时,求椭圆方程;
(2)设P(x,y)是椭圆上一点,在(1)的条件下,求z=x+2y的最大值及相应的P点坐标.
(3)过B(0,-b)作椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的弦,若弦长的最大值不是2b,求椭圆离心率的取值范围.
答案
(1)∵





e=
c
a
=
1
2
a2
c
=4
,∴c=1,a=2,b=


3
,椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)因为P(x,y)在椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
上,所以可设x=2cosθ,y=


3
sinθ

z=2cosθ+2


3
sinθ=4sin(θ+
π
6
)≤4
,∴zmax=4,此时θ=2kπ+
π
3
(k∈Z)

相应的P点坐标为(1,
3
2
)

(3)设弦为BP,其中P(x,y),∵BP2=x2+(y+b)2=a2-
a2
b2
y2+y2+2by+b2

=-
c2
b2
y2+2by+a2+b2=-
c2
b2
(y-
b3
c2
)+
b4
c2
+a2+b2=f(y),(-b≤y≤b)

因为BP的最大值不是2b,又f(b)=4b2
所以f(y)不是在y=b时取最大值,而是在对称轴y=
b3
c2
处取最大值,
所以
b3
c2
<b
,所以b2<c2,解得离心率e∈(


2
2
,1)
举一反三
设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为______.
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已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
上一点P到左焦点的距离为
5
2
,则它到右准线的距离为______.
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椭圆的焦点是F1(-3,0)F2(3,0),P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则椭圆的方程为______.
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若椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离,则该椭圆的离心率的取值范围是______.
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若椭圆
x2
m
+
y2
4
=1
(m∈R)的焦距是2,则m=______.
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