已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,则

已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,则

题型:江苏一模难度:来源:
已知椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,则椭圆的离心率等于______.
答案
由已知得 FQ=
b2
a
,MF=
a2
c
-c

因为椭圆的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点,
椭圆的右准线与x轴交于点M,若△PQM为正三角形,
所以tan30°=


3
3
=
FQ
MF
=
b2
a
a2
c
-c
=
c
a
=e 
所以e=


3
3

故答案为:


3
3
举一反三
若椭圆或双曲线上存在点P,使得点P到两个焦点的距离之比为2:1,则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”,下列曲线中存在“Ω点”的是(  )
A.
x2
16
+
y2
15
=1
B.
x2
25
+
y2
24
=1
C.x2-y2=1D.x2-
y2
15
=1
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将x2+y2=4上所有点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的一半,则所得曲线的离心率为______.
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已知椭圆
x2
9
+
y2
25
=1
的焦点为F1、F2,P为椭圆上一点,若|PF1|=4,则|PF2|=(  )
A.2B.6C.10D.12
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椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则椭圆的离心率是(  )
A.
1
5
B.
1
2
C.


3
3
D.


3
4
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在平面直角坐标系中,过点M(-2,0)的直线l与椭圆
x2
2
+y2=1
交于p1、P2两点,点P是线段p1P2的中点.设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2=______
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