设M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2为焦点,如果∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,求椭圆的离心率.

设M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2为焦点,如果∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,求椭圆的离心率.

题型:不详难度:来源:
设M是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一点,F1,F2为焦点,如果∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,求椭圆的离心率.
答案
∵△MF1F2中,∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,
∴∠F1MF2=90°,即△MF1F2是以F1F2为斜边的直角三角形.
∵M是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一点,
∴|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c
∵Rt△MF1F2中,sin∠MF1F2=
|MF2|
|F1F2|
=


6
+


2
4
,sin∠MF2F1=
|MF1|
|F1F2|
=


6
-


2
4

|MF2|
|F1F2|
+
|MF1|
|F1F2|
=


6
2
,即
2a
2c
=


6
2

因此椭圆的离心率e=
c
a
=
1


6
2
=


6
3
举一反三
若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是______.
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在双曲线中,
c
a
=


5
2
,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线方程是______.
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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为
1
3
,则椭圆的方程是______.
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若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于______.
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已知椭圆的短半轴长为1,离心率e满足0<e≤


3
2
,则长轴的最大值是______.
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