已知F1,F2为椭圆的焦点,P为椭圆上的任意一点,∠F1PF2=45°.(1)求椭圆的离心率的取值范围;(2)求证:△F1PF2的面积与椭圆的短轴长有关.
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已知F1,F2为椭圆的焦点,P为椭圆上的任意一点,∠F1PF2=45°. (1)求椭圆的离心率的取值范围; (2)求证:△F1PF2的面积与椭圆的短轴长有关. |
答案
(1)∵不妨设P是椭圆 +=1(a>b>0)上的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,∠F1PF2=45°, ∴|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c, 在△F1PF2中,由余弦定理得: |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2 =(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|cos45° =4a2-2|PF1|•|PF2|-2|PF1|•|PF2|×=4c2, ∴|PF1|•|PF2|=, 又PF1•PF2≤()2=a2, ∴≤a2,解得e2≥, ∴e≥,又e<1, ∴椭圆的离心率的取值范围[,1). (2)由(1)知,|PF1|•|PF2|=, S△F1PF2=PF1•PF2•sin45°=×=(-1)b2, 即:△F1PF2的面积与椭圆的短轴长有关. |
举一反三
设M是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2为焦点,如果∠MF1F2=75°,∠MF2F1=15°,求椭圆的离心率. |
若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是______. |
在双曲线中,=,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线方程是______. |
已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆的方程是______. |
若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于______. |
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