设F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点，P是以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2

题型：不详难度：来源：

设F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，P是以|F₁F₂|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，则该椭圆的离心率为______．

答案

由题意△PF₁F₂为直角三角形，且∠P=90°，∠PF₁F₂=75°，F₁F₂=2c，
∴|PF₁|=2ccos75°，|PF₂|=2ccos15°，
由椭圆的定义知，|PF₁|+|PF₂|=2c（cos75°+cos15°）=2c

(sin15°+cos15°)2

=

6

c=2a，
∴离心率为e=

c

a

=

c

6 2 c

=

6

3

．
故答案为：

6

3