设双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e=233,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求双曲线方程;(2)直线y=kx+5(k≠0)
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设双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e=233,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求双曲线方程;(2)直线y=kx+5(k≠0)
题型:不详
难度:
来源:
设双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的离心率e=
2
3
3
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为
3
2
.
(1)求双曲线方程;
(2)直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k值.
答案
(1)设直线AB的方程为bx-ay-ab=0,
又原点O到直线AB的距离
ab
a
2
+
b
2
=
3
2
∴ab=
3
2
c
进而有
ab=
3
2
c
c
a
=
2
3
3
a
2
+
b
2
=
c
2
解得a=
3
,b=1
∴双曲线方程为
x
2
3
-
y
2
= 1
(2)由
y=kx+5
x
2
3
-
y
2
= 1
消去y,(1-3k
2
)x
2
-30kx-78=0
设C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),CD的中点M(x
0
,y
0
),
∵|AC|=|AD|,∴M在CD的中垂线AM上,
∴x
0
=
x
1
+
x
2
2
=
15k
1-3
k
2
,y
0
=kx
0
+5=
5
1-3
k
2
l
AM
:y+1=-
1
k
x,
∴
5
1-3
k
2
+1=-
1
k
15k
1-3
k
2
,整理解得k=
±
7
举一反三
已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l:x=1,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且
(
PC
+2
PQ
)•(
PC
-2
PQ
)=0
.
(1)问:点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线的一个焦点F
1
(0,5),且过点(0,4),则该双曲线的标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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在双曲线
(a,b>0)
中,
=
,且双曲线与椭圆4x
2
+9y
2
=36有公共焦点,则双曲线方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若双曲线以椭圆
x
2
25
+
y
2
9
=1
的长轴的两个端点为焦点,且经过点(
4
2
,3),求双曲线的标准方程,并求出它的离心率和渐近线方程.
题型:不详
难度:
|
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P是以F
1
、F
2
为焦点的双曲线C:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)上的一点,已知
P
F
1
•
P
F
2
=0,
|
P
F
1
|=2|
P
F
2
|
.
(1)试求双曲线的离心率e;
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P
1
、P
2
两点,当
O
P
1
•
O
P
2
=-
27
4
,
2
P
P
1
+
P
P
2
=0,求双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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