设双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e=233,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求双曲线方程;(2)直线y=kx+5(k≠0)

设双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e=233,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为32.(1)求双曲线方程;(2)直线y=kx+5(k≠0)

题型:不详难度:来源:
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的离心率e=
2


3
3
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为


3
2

(1)求双曲线方程;
(2)直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D,且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k值.
答案
(1)设直线AB的方程为bx-ay-ab=0,
又原点O到直线AB的距离
ab


a2+b2
=


3
2

∴ab=


3
2
c
进而有





ab=


3
2
c
c
a
=
2


3
3
a2+b2=c2
解得a=


3
,b=1
∴双曲线方程为
x2
3
-y2= 1

(2)由





y=kx+5
x2
3
-y2= 1
消去y,(1-3k2)x2-30kx-78=0
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点M(x0,y0),
∵|AC|=|AD|,∴M在CD的中垂线AM上,
∴x0=
x1+x2
2
=
15k
1-3k2
,y0=kx0+5=
5
1-3k2

lAM:y+1=-
1
k
x,
5
1-3k2
+1=-
1
k
15k
1-3k2
,整理解得k=±


7
举一反三
已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l:x=1,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且(


PC
+2


PQ
)•(


PC
-2


PQ
)=0

(1)问:点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.
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已知双曲线的一个焦点F1(0,5),且过点(0,4),则该双曲线的标准方程是______.
题型:不详难度:| 查看答案
在双曲线(a,b>0)中,=,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线方程是(  )
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A.B.C.D.
若双曲线以椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
的长轴的两个端点为焦点,且经过点(4


2
,3),求双曲线的标准方程,并求出它的离心率和渐近线方程.
P是以F1、F2为焦点的双曲线C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)上的一点,已知


PF1


PF2
=0,|


PF1
|=2|


PF2
|

(1)试求双曲线的离心率e;
(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点,当


OP1


OP2
=-
27
4
2


PP1
+


PP2
=0,求双曲线的方程.