已知双曲线C的两条渐近线都过原点,且都以点A(2,0)为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A′与A点关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程;(2)设直
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已知双曲线C的两条渐近线都过原点,且都以点A(2,0)为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A′与A点关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程;(2)设直
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线C的两条渐近线都过原点,且都以点A(
2
,0)为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A′与A点关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线l过点A,斜率为k,当0<k<1时,双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为
2
,试求k的值及此时B点的坐标.
答案
(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d=
|
2
k|
k
2
+1
=1,解得k=±1
即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0,
2
)
∴a=
2
=b,所求双曲线C的方程为x
2
-y
2
=2.
(2)设直线ly=k(x-
2
)(0<k<1),
依题意B点在平行的直线l′上,且l与l′间的距离为
2
设直线l′y=kx+m,应有
|
2
k+m|
k
2
+1
=
2
,
化简得m
2
+2
2
km=2②
把l′代入双曲线方程得(k
2
-1)x
2
+2mkx+m
2
-2=0,
由△=4m
2
k
2
-4(k
2
-1)(m
2
-2)=0
可得m
2
+2k
2
③
②、③两式相减得k=
2
m,代入③得m
2
=
2
5
,解得m=
10
5
,k=
2
5
5
,
此时x=
-mk
k
2
-1
-2
2
,y=
10
,故B(2
2
,
10
).
举一反三
已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
的一个焦点与圆x
2
+y
2
-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于
5
,则该双曲线的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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与椭圆
x
2
5
+
y
2
3
=1
共焦点的等轴双曲线的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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方程
x
2
k+2
-
y
2
k+1
=1
表示焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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双曲线C过点(2,3),且其中一条渐近线是
y=-
3
x
,则双曲线C的标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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以抛物线y
2
=16x的顶点为中心,焦点为右焦点,且分别以
p
=(
3
,-1)
、
q
=(
3
,1)
为两条渐近线的法向量的双曲线方程为 .
题型:不详
难度:
|
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