已知双曲线C关于两条坐标轴都对称,且过点P(2,1),直线PA1与PA2(A1,A2为双曲线C的两个顶点)的斜率之积kPA1•kPA2=1,求双曲线C的标准方程
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已知双曲线C关于两条坐标轴都对称,且过点P(2,1),直线PA1与PA2(A1,A2为双曲线C的两个顶点)的斜率之积kPA1•kPA2=1,求双曲线C的标准方程. |
答案
(1)当双曲线的焦点位于x轴上时,设C:-=1(a>0,b>0), 所以A1(-a,0),A2(a,0), 所以kPA1•kPA2=•==1, 解得a2=3.…2分 将a2=3,P(2,1)代入双曲线方程,得-=1,解得b2=3.…2分 所以双曲线C的标准方程为-=1.…2分 (2)当双曲线的焦点位于y轴上时,设C:-=1(a>0,b>0), 所以A1(0,-a),A2(0,a), 所以kPA1•kPA2=•==1, 解得a2=-3(舍去).…2分 综上,所求双曲线C的标准方程为-=1. |
举一反三
等轴双曲线C与椭圆+=1有公共的焦点,则双曲线C的方程为______. |
已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=3|PF2|. (1)求离心率的最值,并写出此时双曲线的渐近线方程. (2)若点P的坐标为(,±)时,•=0,求双曲线方程. |
与曲线+=1共焦点并且与曲线-=1共渐近线的双曲线方程为______. |
设双曲线-=1(mn≠0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为2,则此双曲线的方程为______. |
已知双曲线的中心在原点,焦点为F1(5,0),F2(-5,0),且过点(3,0), (1)求双曲线的标准方程. (2)求双曲线的离心率及准线方程. |
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