如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，

题型：湖北省高考真题难度：来源：

如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P。
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（2）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积不小于2，求直线l斜率的取值范围。

答案

解：（1）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得
|MA|-|MB|=|PA|-|PB|=
＜|AB|=4
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c=2，2a=2，
∴a²=2，b²=c²-a²=2
∴曲线C的方程为。（2）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理得
（1-k²）x²-4kx-6=0 ①
∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）②
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则由①式得x₁+x₂=，
于是|EF|=
=
而原点O到直线l的距离d=，
∴S_△DEF=
若△OEF面积不小于2，即S_△OEF≥，则有
解得 ③
综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）。