设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.(1)求C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M(,),F(,0),且P为L上动点,
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设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.(1)求C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M(,),F(,0),且P为L上动点,
题型:不详
难度:
来源:
设圆C与两圆(x+
)
2
+y
2
=4,(x-
)
2
+y
2
=4中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M(
,
),F(
,0),且P为L上动点,求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.
答案
(1)
-y
2
=1
(2)(
,-
)
解析
(1)依题意得两圆的圆心分别为F
1
(-
,0),F
2
(
,0),从而可得|CF
1
|+2=|CF
2
|-2或|CF
2
|+2=|CF
1
|-2,
所以||CF
2
|-|CF
1
||=4=2a<|F
1
F
2
|=2
=2c,
所以圆心C的轨迹是以原点为中心,焦点在x轴上,且实轴长为4,焦距为2
的双曲线,
因此a=2,c=
,b
2
=c
2
-a
2
=1,
故C的圆心轨迹L的方程为
-y
2
=1.
(2)过点M,F的直线l的方程为y=-2(x-
),将其代入
-y
2
=1中,解得x
1
=
,x
2
=
,故直线l与L的交点为T
1
(
,-
),T
2
(
,
),
因为T
1
在线段MF外,T
2
在线段MF上,
所以||MT
1
|-|FT
1
||=|MF|=2,||MT
2
|-|FT
2
||<|MF|=2.
若点P不在MF上,则||MP|-|FP||<|MF|=2.
综上所述,||MP|-|FP||只在点T
1
处取得最大值,
即||MP|-|FP||的最大值为2,
此时点P的坐标为(
,-
).
举一反三
已知双曲线
-y
2
=1的左,右焦点分别为F
1
,F
2
,点P在双曲线上,且满足|PF
1
|+|PF
2
|=2
,则△PF
1
F
2
的面积为( )
A.
B.1
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
-
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,过点F
2
作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P,且∠PF
1
F
2
=
,则双曲线的渐近线方程为________.
题型:不详
难度:
|
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若点P在曲线C
1
:
-
=1上,点Q在曲线C
2
:(x-5)
2
+y
2
=1上,点R在曲线C
3
:(x+5)
2
+y
2
=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是________.
题型:不详
难度:
|
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已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M、N与圆C相切的两直线相交于点P,则P点的轨迹方程为( )
A.x
2
-
=1(x>1)
B.x
2
-
=1(x<-1)
C.x
2
+
=1(x>0)
D.x
2
-
=1(x>1)
题型:不详
难度:
|
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设抛物线C
1
的方程为y=
x
2
,它的焦点F关于原点的对称点为E.若曲线C
2
上的点到E、F的距离之差的绝对值等于6,则曲线C
2
的标准方程为________.
题型:不详
难度:
|
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