直线l在双曲线=1上截得弦长为4,其斜率为2,则直线l在y轴上的截距是_____________.

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直线l在双曲线

=1上截得弦长为4,其斜率为2,则直线l在y轴上的截距是_____________.

答案

解析

设直线l的方程为y="2x+m. " ①
将①代入双曲线方程,得10x²+12mx+3(m²+2)=0,设l与双曲线的交点为A(x₁,y₁), B(x₂,y₂),由韦达定理可得x₁+x₂=-

m, ②
x₁x₂=

(m²+2), ③
又y₁=2x₁+m,y₂=2x₂+m,
∴y₁-y₂=2(x₁-x₂).再利用②③,∴|AB|²=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²=5(x₁-x₂)²=5［(x₁+x₂)²-4x₁x₂］=5［

m²-4×

(m²+2)］.
∵|AB|=4,∴5［

m²-

(m²+2)］=4².∴3m²=70.∴m=±

举一反三

已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,两准线间的距离为

,并且与直线y=

(x-4)相交所得线段的中点的横坐标为-

,求这个双曲线的方程.

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经过双曲线x²-y²=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是( )

A．

B．2

C．

D．7

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直线l过双曲线

=1的右焦点,斜率k=2,若l与双曲线的两个交点分别在双曲线左、右两支上,则双曲线的离心率e的取值范围是( )

A．e>

B．1<e<

C．1<e<

D．e>

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已知F₁、F₂是双曲线的两焦点,过F₂且垂直于实轴的直线交双曲线于P、Q两点,∠PF₁Q=60°,则离心率e=________________.

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直线l:y=k(x-2)与双曲线x²-y²=1(x>0)相交于A、B两点,则l的倾斜角范围是( )
A.［0,π］ B.(

)∪(

)
C.［0,

］∪(

,π) D.(

)

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