设A、B是双曲线x2–=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.(1)求直线AB的方程;(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、

设A、B是双曲线x2–=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.(1)求直线AB的方程;(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、

题型:不详难度:来源:
AB是双曲线x2=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.
(1)求直线AB的方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于CD两点,那么ABCD四点是否共圆?为什么?
答案
(1)ABy=x+1(2)ABCD四点到点M的距离相等,所以ABCD四点共圆. 
解析
(1)设ABy=k(x–1)+2代入x2=1.
整理得(2–k2x2–2k(2–k)x–(2–k)2–2="0      " ①
A(x1,y1)、Bx2,y2),x1,x2为方程①的两根
所以2–k2≠0且x1+x2=. 又NAB中点,
x1+x2)=1.∴k(2–k)=2–k2,解得k="1." 故ABy=x+1.
(2)解出A(–1,0)、B(3,4)得CD的方程为y=3–x 与双曲线方程联立.消yx2+6x–11="0          " ②
C(x3,y3)、D(x4,y4)及CD中点M(x0,y0)由韦达定理可得x0=–3,y0=6.
∵|CD|=
∴|MC|=|MD|=|CD|=2.
又|MA|=|MB|=. 即ABCD四点到点M的距离相等,所以ABCD四点共圆. 
举一反三
(本小题满分12分)已知定点,动点满足条件:,点的轨迹是曲线,直线与曲线交于两点。如果。(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)若曲线上存在点,使,求的值。
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若实数满足条件,则的取值范围是___________________.
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=1(a>b>0)的渐近线(    )
A.重合
B.不重合,但关于x轴对称
C.不重合,但关于y轴对称
D.不重合,但关于直线y=x对称

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已知双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,点到其渐近线的距离为.若过点作斜率为的直线交双曲线于两点,交轴于点,且的等比中项,则双曲线的半焦距为__________.
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过点作已知直线的平行线,交双曲线于点.
(1)证明:点是线段的中点.
(2)分别过点作双曲线的切线,证明:三条直线相交于同一点.
(3)设为直线上一动点,过点作双曲线的切线,切点分别为.证明:点在直线AB上.
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