双曲线x2a2-y2b2=1的两焦点分别为F1和F2,若双曲线上存在不是顶点的点P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则双曲线离心率e的取值范围是______.

双曲线x2a2-y2b2=1的两焦点分别为F1和F2,若双曲线上存在不是顶点的点P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则双曲线离心率e的取值范围是______.

题型:不详难度:来源:
双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
的两焦点分别为F1和F2,若双曲线上存在不是顶点的点P,使得∠PF2F1=3∠PF1F2,则双曲线离心率e的取值范围是______.
答案
设∠PF1F2=α,
∵∠PF2F1=3∠PF1F2,P在双曲线右支(x>a)
在三角形PF1F2中,根据正弦定理,可得
PF1
sin3α
=
PF2
sinα

PF1
3sinα-4sin3α
=
PF2
sinα

∴PF1=(3-4sin2α)PF2
∵PF1-PF2=2a,∴(3-4sin2α)PF2-PF2=2a,
∴PF2=
a
1-2sin2α

由于P在P在双曲线右支,∴PF2>c-a,
a
1-2sin2α
>c-a,∴
c
a
<1+
1
1-2sin2α
≤2,
c
a
<2,又
c
a
>1,
则双曲线离心率e的取值范围是 1<e<2.
故答案为:1<e<2.
举一反三
双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线所成的锐角是(  )
A.45°B.30°C.60°D.90°
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双曲线C的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知|


OA
|=2|


FA
|
,且


BF


FA
同向.
(1)求双曲线C的离心率;
(2)设AB被双曲线C所截得的线段的长为4,求双曲线C的方程.
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过双曲线2x2-2y2=1的右焦点且方向向量为(1,


3
)
的直线L与抛物线y2=4x交于A、B两点,则|AB|的值为(  )
A.
8
3


7
B.
16
3
C.
8
3
D.
16
3


7
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以双曲线
x2
9
-
y2
16
=1的右焦点为圆心,且与两条渐近线相切的圆的方程是(  )
A.(x+5)2+y2=9B.(x+5)2+y2=16C.(x-5)2+y2=9D.(x-5)2+y2=16
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在相距4k米的A、B两地,听到炮弹爆炸声的时间相差2秒,若声速每秒k米,则爆炸地点P必在(  )
A.以A,B为焦点,短轴长为


3
k米的椭圆上.
B.以A,B为焦点,实轴长为2k米的双曲线上.
C.以AB为直径的圆上.
D.以A,B为顶点,虚轴长为


3
k米的双曲线上.
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