双曲线C:x2-y2=2右支上的弦AB过右焦点F.(1)求弦AB的中点M的轨迹方程(2)是否存在以AB为直径的圆过原点O?若存在,求出直线AB的斜率K的值.若不
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双曲线C:x2-y2=2右支上的弦AB过右焦点F. (1)求弦AB的中点M的轨迹方程 (2)是否存在以AB为直径的圆过原点O?若存在,求出直线AB的斜率K的值.若不存在,则说明理由. |
答案
(1)设M(x,y),A(x1,y1)、B(x2,y2),则x12-y12=2,x22-y22=2, 两式相减可得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0, ∴2x(x1-x2)-2y(y1-y2)=0, ∴=, ∵双曲线C:x2-y2=2右支上的弦AB过右焦点F(2,0), ∴=, 化简可得x2-2x-y2=0,(x≥2)-------(6分) (2)假设存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),lAB:y=k(x-2) 由已知OA⊥OB得:x1x2+y1y2=0, ∴(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=0---------① ⇒(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0, 所以x1+x2=,x1x2=(k2≠1)--------② 联立①②得:k2+1=0无解 所以这样的圆不存在.-----------------------(14分) |
举一反三
若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率为( ) |
双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±2x,则k的值为( ) |
以F1(-4,0),F2(4,0)为焦点的等轴双曲线的标准方程为______. |
若双曲线C:+y2=1的离心率为2,则实数m的值为( ) |
双曲线-=1的焦距为4,它的一个顶点是抛物线y2=4x的焦点,则双曲线的离心率e=( ) |
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