已知点P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.I为△PF1F2内心,若S△IPF1=S△IPF2+12
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已知点P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.I为△PF1F2内心,若S△IPF1=S△IPF2+12
题型:不详
难度:
来源:
已知点P是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
右支上一点,F
1
、F
2
分别是双曲线的左、右焦点.I为△PF
1
F
2
内心,若
S
△IP
F
1
=
S
△IP
F
2
+
1
2
S
△I
F
1
F2
,则双曲线的离心率为______.
答案
如图,设圆I与△PF
1
F
2
的三边F
1
F
2
、PF
1
、PF
2
分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG,
则IE⊥F
1
F
2
,IF⊥PF
1
,IG⊥PF
2
,它们分别是
△IF
1
F
2
,△IPF
1
,△IPF
2
的高,
∴
S
△IP
F
1
=
1
2
×|PF
1
|×|IF|=
r
2
|PF
1
|,
S
△IP
F
2
=
1
2
×|PF
2
|×|IG|=
r
2
|PF
2
|
S
△I
F
1
F
2
=
1
2
×|F
1
F
2
|×|IE|=
r
2
|F
1
F
2
|,其中r是△PF
1
F
2
的内切圆的半径.
∵
S
△IP
F
1
=
S
△IP
F
2
+
1
2
S
△I
F
1
F2
∴
r
2
|PF
1
|=
r
2
|PF
2
|+
r
4
|F
1
F
2
|
两边约去
r
2
得:|PF
1
|=|PF
2
|+
1
2
|F
1
F
2
|
∴|PF
1
|-|PF
2
|=|F
1
F
2
|
根据双曲线定义,得|PF
1
|-|PF
2
|=2a,|F
1
F
2
|=2c
∴2a=c⇒离心率为e=
c
a
=2
故答案为:2.
举一反三
如图所示,F为双曲线C:
x
2
9
-
y
2
16
=1
的左焦点,双曲线C上的点P
i
与P
7-i
(i=1,2,3)关于y轴对称,则|P
1
F|+|P
2
F|+|P
3
F|-|P
4
F|-|P
5
F|-|P
6
F|的值是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设经过双曲线
x
2
-
y
2
3
=1
的左焦点F
1
作倾斜角为
π
6
的直线与双曲线左右两支分别交于点A,B.求
(I)线段AB的长;
(II)设F
2
为右焦点,求△F
2
AB的周长.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图所示,椭圆C
1
、C
2
与双曲线C
3
、C
4
的离心率分别是e
1
、e
2
与e
3
、e
4
,e
1
、e
2
、e
3
、e
4
的大小关系是( )
A.e
2
<e
1
<e
3
<e
4
B.e
2
<e
1
<e
4
<e
3
C.e
1
<e
2
<e
3
<e
4
D.e
1
<e
2
<e
4
<e
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知F
z
、F
2
是双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=z(a>a,b>a)
的两个焦点,P是双曲线上的一点,则
P
F
z
•
P
F
2
的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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经过双曲线:
x
2
4
-
y
2
=1
的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B,若AB=4,则这样的直线有几条( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
题型:不详
难度:
|
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