等轴双曲线C:x2-y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=43,则双曲线C的实轴长等于( )A.2B.22C.4D.8
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等轴双曲线C:x2-y2=a2与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=43,则双曲线C的实轴长等于( )A.2B.22C.4D.8
题型:崇明县一模
难度:
来源:
等轴双曲线C:x
2
-y
2
=a
2
与抛物线y
2
=16x的准线交于A,B两点,
|AB|=4
3
,则双曲线C的实轴长等于( )
A.
2
B.
2
2
C.4
D.8
答案
设等轴双曲线C的方程为x
2
-y
2
=λ.(1)
∵抛物线y
2
=16x,2p=16,p=8,∴
p
2
=4.
∴抛物线的准线方程为x=-4.
设等轴双曲线与抛物线的准线x=-4的两个交点A(-4,y),B(-4,-y)(y>0),
则|AB|=|y-(-y)|=2y=4
3
,∴y=2
3
.
将x=-4,y=2
3
代入(1),得(-4)
2
-(2
3
)
2
=λ,∴λ=4
∴等轴双曲线C的方程为x
2
-y
2
=4,即
x
2
4
-
y
2
4
=1
∴C的实轴长为4.
故选C.
举一反三
设F
1
,F
2
分别为双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P,满足
.
P
F
2
.
=
.
P
F
1
.
,且F
2
到直线PF
1
的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.
4
3
B.
5
3
C.
5
4
D.
11
4
题型:未央区三模
难度:
|
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已知双曲线
E:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的渐近线与抛物线C:y=x
2
+1相切于第一象限内的点P.
(I)求点P的坐标及双曲线E的离心率;
(II)记过点P的渐近线为l
1
,双曲线的右焦点为F,过点F且垂直于l
1
的直线l
2
与双曲线E交于A、B两点.当△PAB的面积为
40
3
时,求双曲线E的方程.
题型:昆明模拟
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0)的渐近线与圆x
2
+y
2
-4x+2=0相切,则该双曲线的离心率为______.
题型:浙江模拟
难度:
|
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等轴双曲线Σ的中心在原点,焦点在x轴上,Σ与抛物线
y=
1
4
x
2
的准线交于P、Q两点,若|PQ|=4,则Σ的实轴长为( )
A.
2
3
B.3
C.2
D.
3
题型:江门一模
难度:
|
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斜率为
3
的直线与双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(1,
3
)
D.
(
3
,+∞)
题型:泰安二模
难度:
|
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