(Ⅰ)∵抛物线y2=x的焦点为(,0),(1分) ∴设中心在原点,右焦点为(,0)的双曲线C的方程为-=1. ∵(,0)到双曲线的一条准线的距离为, ∴=-=.(2分) ∴a2=×=.∴b2=c2-a2=()2-=1.(3分) ∴双曲线C的方程为3x2-y2=1.(4分) (Ⅱ)(1)由得(3-k2)x2-2kx-2=0.(5分) 由 | △=4k2-4(-2)(3-k2)>0 | 3-k2≠0 |
| | 得-<k<(k≠±).①(7分) 设A(x1,y1),B(x2,y2). ∵OA⊥OB,∴y2y1+x2x1=0,y1=kx1+1,y2=kx2+1.(9分) ∴(kx1+1)(kx2+1)+x1x2=0.即x1x2(1+k2)+k(x1+x2)+1=0.② 将x1+x2=,x1x2=,代入②,解得k=±1,满足①. ∴k=±1时,以AB为直径的圆过原点.(10分) (2)假设存在实数k,使A、B关于直线y=ax对称(a为常数), 则 | ka=-1 | y1+y2=k(x1+x2)+2 | =a•. |
| | 由④、⑤得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2.(12分) 将x1+x2=代入上式,得2ak=6,∴ak=3.与③矛盾.(13分) ∴不存在实数k,使A、B关于直线y=ax对称.(14分) |