直线l:y=ax+1与双曲线C:3x2-y2=1相交于A,B两点.(1)a为何值时,以AB为直径的圆过原点;(2)是否存在这样的实数a,使A,B关于直线x-2y
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直线l:y=ax+1与双曲线C:3x2-y2=1相交于A,B两点. (1)a为何值时,以AB为直径的圆过原点; (2)是否存在这样的实数a,使A,B关于直线x-2y=0对称,若存在,求a的值,若不存在,说明理由. |
答案
(1)联立方程ax+1=y与3x2-y2=1,消去y得:(3-a2)x2-2ax-2=0(*) 又直线与双曲线相交于A,B两点,3-a2≠0,所以a≠±,∴△>0⇒-<a<. 又依题OA⊥OB,令A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1y2=-x1x2. 且y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1=-x1x2⇒x1x2(1+a2)+a(x1+x2)+1=0,而由方程(*)知:x1+x2=,x1x2=代入上式得-++1=0⇒a2=1⇒a=±1.满足条件. (2)假设这样的点A,B存在,则l:y=ax+1斜率a=-2.又AB中点(,)在y=x上,则y1+y2=(x1+x2), 又y1+y2=a(x1+x2)+2, 代入上式知⇒a=6这与a=-2矛盾. 故这样的实数a不存在. |
举一反三
已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,其一条渐近线方程为y=x,则b=______;若点p(,y0)在双曲线上,则•=______. |
双曲线x2+ky2=1的一条渐近线斜率是2,则k的值为( ) |
设双曲线的半焦距为c,两条准线间的距离为d,且c=d,那么双曲线的离心率e等于( ) |
设双曲线的左准线与两条渐近线交于A,B两点,左焦点为在以AB为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( )A.(0,) | B.(1,) | C.(,1) | D.(,+∞) |
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设双曲线-=1的一个焦点为(0,-2),则双曲线的离心率为( ) |
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