设双曲线y2a2-x23=1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；（Ⅱ）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|

题型：不详难度：来源：

设双曲线

y2

a2

-

x2

3

=1的两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为2．
（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l₁、l₂的方程；
（Ⅱ）若A、B分别为l₁、l₂上的点，且2|AB|=5|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

答案

（Ⅰ）∵e=2，∴c²=4a²
∵c²=a²+3，∴a=1，c=2
∴双曲线方程为y2-

x2

3

=1，渐近线方程为y=±

3

3

x
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y）
∵2|AB|=5|F₁F₂|，∴|AB|=

5

2

|F₁F₂|=

5

2

×2c=10，∴

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=10
∵y1=

3

3

x1，y2=

3

3

x2，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂
∴y1+y2=

3

3

(x1-x2)，y1-y2=

3

3

(x1+x2)
∴3×(2y)2+

1

3

×(2x)2=100
∴

x2

75

+

3y2

25

=1，对应的曲线为椭圆．