已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点(4，-10)，A点坐标为（0，2），则双曲线上距点A距离最短的点的坐标是___

题型：不详难度：来源：

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点(4，-

10

)，A点坐标为（0，2），则双曲线上距点A距离最短的点的坐标是______．

答案

∵双曲线一条渐近线方程为y=x，
∴双曲线是等轴双曲线，设方程为x²-y²=λ（λ≠0）
∵点(4，-

10

)在双曲线上，
∴4²-（-

10

）²=λ，解得λ=6
因此，双曲线方程为x²-y²=6，
设点P（m，n）是双曲线上的动点，得
|PA|=

m2+(n-2)2

=

2n2-4n+4

当且仅当n=1时，|PA|有最小值

2

，此时m=±

7

∴双曲线上的P坐标是（±

7

，1）时，P距点A的距离最短．
故答案为：（±

7

，1）