已知F1、F2是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2是正三角形，试求该

题型：不详难度：来源：

已知F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，试求该双曲线的离心率．

答案

由△ABF₂是正三角形，则在Rt△AF₁F₂中，有∠AF₂F₁=30°，
∴|AF1|=

1

2

|AF2|，又|AF₂|-|AF₁|=2a．
∴AF₂=4a，AF₁=2a，又F₁F₂=2c，
又在Rt△AF₁F₂中，|AF1|2+|F1F2|2=|AF2|2，得到4a²+4c²=16a²，∴

c2

a2

=3．
∴e=

c

a

=

3

．