已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程； （2）设圆M过点A（0，2），

题型：0119 期末题难度：来源：

已知动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离和它到直线y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设圆M过点A（0，2），且圆心M（a，b）在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E（x₁，0）、
G（x₂，0），求线段EG的长度。

答案

解：（1）依题意知，曲线C是以F（0，1）为焦点，y=-1为准线的抛物线，　
∵焦点到准线的距离p=2，　
∴曲线C的方程是。
（2）∵圆M的半径为，
∴其方程为，
令y=0，得，
则，，　
∴，
又∵点M（a，b）在抛物线上，
∴，
∴，即，
∴线段EG的长度是4。