已知抛物线y2=4x,点M(1,0)关于y轴的对称点为N,直线l过点M交抛物线于A,B两点.(Ⅰ)证明:直线NA,NB的斜率互为相反数;(Ⅱ)求△ANB面积的最
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已知抛物线y2=4x,点M(1,0)关于y轴的对称点为N,直线l过点M交抛物线于A,B两点. (Ⅰ)证明:直线NA,NB的斜率互为相反数; (Ⅱ)求△ANB面积的最小值; (Ⅲ)当点M的坐标为(m,0)(m>0,且m≠1).根据(Ⅰ)(Ⅱ)推测并回答下列问题(不必说明理由): ①直线NA,NB的斜率是否互为相反数? ②△ANB面积的最小值是多少? |
答案
(Ⅰ)设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0). 由可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1. ∴y1y2=-4∵N(-1,0)kNA+kNB=+=+ ==4(-4y2+4y1-4y1+4y2) | (+4)(+4) | =0. 又当l垂直于x轴时,点A,B关于x轴,显然kNA+kNB=0,kNA=-kNB. 综上,kNA+kNB=0,kNA=-kNB. (Ⅱ)S△NAB=|y1-y2|== =4>4. 当l垂直于x轴时,S△NAB=4. ∴△ANB面积的最小值等于4. (Ⅲ)推测:①kNA=-kNB; ②△ANB面积的最小值为4m. |
举一反三
(1)直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A,求实数b的值,及点A的坐标. (2)在抛物线y=4x2上求一点,使这点到直线y=4x-5的距离最短. |
如图,抛物线形拱桥的顶点距水面2米时,测得拱桥内水面宽为12米,当水面升高1米后,拱桥内水面宽度是多少米?
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某隧道横截面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图,某卡车空车时可以通过该隧道,现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高4.5米,问此车能否通过此隧道?请说明理由.
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抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反象后,沿平行于抛物线对称轴的肖向射出,反之亦然.如图所示,今有抛物线C,其顶点是坐标原点,对称辅为x轴.开口向右.一光源在点M处,由其发出一条平行于x轴的光线射向抛物线C卜的点P(4.4),经抛物线C反射后,反射光线经过焦点F后射向抛物线C上的点Q,再经抛物线C反射后又沿平行于X轴的方向射出,途中经直线l:2x-4y-17=0上点N反射后又射回点M. (1)求抛物线C的方程; (2)求PQ的长度; (3)判断四边形MPQN是否为平行四边形,若是请给出证明,若不是请说明理由.
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已知抛物线的焦点在直线:x-2y-4=0上,求抛物线的标准方程。 |
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