已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．（1）求曲线C的方程；（2）过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A、B两点，设，当

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已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A、B两点，设，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求的值．

答案

解：（1）∵点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l"：y=﹣1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F"为焦点，l"为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为=4y．
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣2），即y=kx+（2﹣2k），
代入=4y得﹣4kx+8（k﹣1）=0（*）
△=16（k²﹣2k+2）＞0对k∈R恒成立，
∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为A（，y₁），B（x₂，y₂），
则+x₂=4k，x₂=8（k﹣1），
∵|AB|===
点O到直线m的距离d=，
∴=，
∴（k﹣1）⁴+（k﹣1）²﹣2=0，
∴（k﹣1）²=1或（k﹣1）²=﹣2（舍），
∴k=0或k=2．
当k=0方程（*）的解为x=
若，，则，
若，则，
当k=2，方程（*）的解为
若，则
若，则
所以，．