解:(Ⅰ)由P(),O(0,0), ∴kOP=,OP的中点为, ∴OP的垂直平分线所在直线方程y,即2x+y-2=0。 令y=0,解得:x=1, 故得:p=2, ∴抛物线方程为:y2=4x。 (Ⅱ)假设直线MN过定点, 设A(xA,yA),B (xB,yB),M(xM,yM), 设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-1), 联立,可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 由韦达定理,得xA+xB=2+, 所以,xM=1+, 所以,点M的坐标是(1+,-2k), 当k≠±1时, 直线MN的斜率为:, 直线方程为, 整理得:y(1-k2)=k(x-3), ∴直线恒经过定点(3,0), 当k=±1时,直线MN方程为x=3,经过(3,0), 综上,不论k为何值,直线MN恒过定点(3,0)。 |